专题12 球体的外接与内切小题综合（教师卷）- 十年（2015-2024）高考真题数学分项汇编（全国通用）

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专题 12 球体的外接与内切小题综合
考点 十年考情（2015-2024）命题趋势
考点 1 直接求球的
表面积与体积及相
关应用
（10 年3考）
2021·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2017·上海卷
理解、掌握球体的表面积公
式和体积公式，熟练掌握不
同模型的球体的外接球和内
切球的相关计算，会利用
（二级）结论快速解题
本节内容是新高考卷的常考
内容，一般有特殊几何体、
墙角问题、对棱相等、侧棱
垂直于底面、侧面垂直于底
面的外接内切问题，需强化
复习.
考点 2 正方体与长
方体中的球体切接
问题
（10 年4考）
2023·全国甲卷、2020·天津卷、2017·天津卷
2016·全国卷、2016·全国卷
考点 3 圆锥与圆柱
中的球体切接问题
（10 年3考）
2021·天津卷、2020·全国卷、2017·江苏卷
考点 4 棱锥与棱台
中的球体切接问题
（10 年5考）
2023·全国乙卷、2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲
卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全国卷
考点 5 球体切接问
题中的最值及范围
问题
（10 年5考）
2023·全国甲卷、2022·全国乙卷、2022·全国新Ⅰ
卷、2018·全国卷、2016·全国卷、2015·全国卷
考点 01 直接求球的表面积与体积及相关应用
1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系
统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球
表面的距离）．将地球看作是一个球心为 O，半径 r为 的球，其上点 A的纬度是指 与赤道平面
所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆
盖地球表面的表面积为 （单位： ），则 S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
.
故选：C.
2．（2020·山东·高考真题）已知球的直径为 2，则该球的体积是 .
【答案】
【分析】根据公式即可求解.
【详解】解：球的体积为： ,
故答案为：
3．（2017·上海·高考真题）已知球的体积为 ，则该球主视图的面积等于
【答案】
【详解】 由球的体积公式，可得 ，则 ，所以主视图的面积为 .
考点 02 正方体与长方体中的球体切接问题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体 中，E，F分别为 AB， 的中点，以 EF 为直
径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
【答案】12
【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.
【详解】不妨设正方体棱长为 2， 中点为 ，取 ， 中点 ，侧面 的中心为 ，连接
，如图，
由题意可知， 为球心，在正方体中， ，
即 ，
则球心 到 的距离为 ，
所以球 与棱 相切，球面与棱 只有 1个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有 1个交点，
所以以 EF 为直径的球面与正方体棱的交点总数为 12.
故答案为：12
2．（2020·天津·高考真题）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.
【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
即 ，
所以，这个球的表面积为 .
故选：C.
【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求
多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用
长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，
借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设
计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
3．（2017·天津·高考真题）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这
个球的体积为 .
【答案】
【详解】设正方体边长为 ，则 ，
外接球直径为 .
【考点】 球
【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长
方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下
底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；
（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球
心，本题就是第三种方法.

标签： #高考 #数学

摘要：

专题12球体的外接与内切小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1直接求球的表面积与体积及相关应用（10年3考）2021·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2017·上海卷理解、掌握球体的表面积公式和体积公式，熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算，会利用（二级）结论快速解题本节内容是新高考卷的常考内容，一般有特殊几何体、墙角问题、对棱相等、侧棱垂直于底面、侧面垂直于底面的外接内切问题，需强化复习.考点2正方体与长方体中的球体切接问题（10年4考）2023·全国甲卷、2020·天津卷、2017·天津卷2016·全国卷、2016·全国卷考点3圆锥与圆柱中的球体切接问题（10年...

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