专题25 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义）（学生卷）- 十年（2015-2024）高考真题数学分项汇编（全国通用）

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专题 25 新定义综合

（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定

义）

考点十年考情（2015-2024）命题趋势

考点 1 数列新

定义

（10 年10

考）

2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷

2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷

2020·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷 2020·江苏卷

2019·江苏卷、2018·江苏卷、2017·北京卷

2017·江苏卷、2016·江苏卷、2016·北京卷

2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷

新高考数学新结构体系下，新定义类试

题更综合性的考查学生的思维能力和推

理能力;以问题为抓手，创新设问方式，

搭建思维平台，引导考生思考，在思维

过程中领悟数学方法。

题目更加注重综合性、应用性、创新

性，本题分值最高，试题容量明显增

大，对学科核心素养的考查也更深入。

压轴题命题打破了试题题型、命题方

式、试卷结构的固有模式，增强试题的

灵活性，采取多样的形式多角度的提

问，考查学生的数学能力，

新定义题型的特点是;通过给出一个新概

念，或约定一种新运算，或给出几个新

模型来创设全新的问题情景，要求考生

在阅读理解的基础上，依据题目提供的

信息，联系所学的知识和方法，实现信

息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定

义问题，应耐心读题，分析新定义的特

点，弄清新定义的性质，按新定义照章

办事”逐条分析、验证、运算，使问题

得以解决，难度较难，需重点特训。

考点 2 函数新

定义

（10 年4考）

2024·上海、2020·江苏、2018·江苏

2015·湖北、2015·福建

考点 3 集合新

定义

（10 年3考）

2020·浙江卷、2018·北京卷

2015·山东卷、2015·浙江卷

考点 4 其他新

定义

（10 年2考）

2020·北京卷、2016·四川卷

考点 01 数列新定义

一、小题

1．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数，其中，

记．则（）

A．B．

C．D．

2．（2020·全国新Ⅱ卷·高考真题）0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足

，且存在正整数，使得成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足

的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的 0-1 序列，

是描述其性质的重要指标，下列周期为 5的0-1 序列中，满足

的序列是（）

A．B．C．D．

二、大题

1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为 0的等差数列，若从中删

去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的 4个数都能构成等差数列，则称数列

是可分数列．

(1)写出所有的，，使数列是可分数列；

(2)当时，证明：数列是可分数列；

(3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证

明：．

2．（2024·北京·高考真题）已知集合

．给定数列，和序

列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均

加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加 1，其余项不变，得到数列记作

；……；以此类推，得到，简记为．

(1)给定数列和序列，写出；

(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符

合条件的；若不存在，请说明理由；

(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相

等”的充要条件为“”．

3．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为 m，且的前n

项和分别为，并规定．对于，定义，

其中，表示数集 M中最大的数.

(1)若，求的值；

(2)若，且，求；

(3)证明：存在，满足使得．

4．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数 m，若对任意的，

在Q中存在，使得，则称 Q为连续可表数列．

(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；

(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为 4；

(3)若为连续可表数列，且，求证：．

5．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：

①，且；

②；

③，．

（1）如果数列的前4项为 2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；

（2）若数列是数列，求；

（3）设数列的前项和为 .是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的 p；

如果不存在，说明理由．

6．（2020·北京·高考真题）已知是无穷数列．给出两个性质：

①对于中任意两项，在中都存在一项，使；

②对于中任意项，在中都存在两项．使得．

( )Ⅰ若，判断数列是否满足性质①，说明理由；

( )Ⅱ若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

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标签： #高考 #数学 #数列

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专题25新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义）考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1数列新定义（10年10考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷2020·江苏卷2019·江苏卷、2018·江苏卷、2017·北京卷2017·江苏卷、2016·江苏卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力;以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思...

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