2021年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）

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2021 年上海市夏季高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）

1.已知（其中为虚数单位），则．

【思路分析】复数实部和虚部分别相加

【解析】：

【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题．

2、已知则

【思路分析】求出集合 A，再求出

【解析】：，所以

【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．

3、若 ,则圆心坐标为

【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标

【解析】：可以化为所以圆心为

【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题．

4、如图边长为 3 的正方形则

【思路分析】利用向量投影转化到边上.

【解析】方法一：

方法二：由已知，，，

则；

【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题；

5、已知则

【思路分析】利用反函数定义求解.

【解析】由题意，得原函数的定义域为：，结合反函数的定义，得，

解得，所以，；

【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题．

6.已知二项式的展开式中，的系数为，则 ________．

【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.

【解析】

【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数

幂运算；基础题。

7、已知 ,目标函数，则

的

最大值为

【思路分析】作出不等式表示的平面区域，根据 z 的几何意义求最值.

【解析】如图，可行域的三个顶点为：、，，

结合直线方程与的几何意义，得，，则；

当

【归纳总结】本题主要考查线性规划的规范、准确作图与直线方程中“参数”的几何意义与数形结

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合思想；

8、已知无穷递缩等比数列的各项和为则数列的各项和为

【思路分析】利用无穷递缩等比数列求和公式建立方程求出公比，再得到通项公式，根据特点求

和.

【解析】，

【归纳总结】本题考查了数列的基本问题：等比数列与无穷递缩等比数列的各项和的概念与公式；

同时考查了学生的数学阅读与计算能力。

9、在圆柱底面半径为 ,高为 , 为上底底面的直径,点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕

着下底底面旋转一周，则面积的范围

【思路分析】注意几何题设与几何性质选择求面积的的方法；

【解析】由题意，当点在下底底面圆弧上的运动时，的底边

，

所以，面积的取值与高相关；

当时，最大为：，面积

的最大值为：；

当时，最小为：，面积的最大值为：；

所以，面积的取值范围为：；

【归纳总结】本题主要考查了圆柱的几何性质，简单的数学建模（选择求三角形面积的方案），等

价转化思想。

10.甲、乙两人在花博会的 A、B、C、D 不同展馆中各选个去参观，则两人选择中恰有一个馆相

同的概率为________．

【思路分析】注意“阅读，理解”，等价为“两个”排列组合题；

【解析】由题意、、、四个不同的场馆，每人可选择的参观方法有：种，则甲、乙两

个人每人选个场馆的参观方法有：种；

由此，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：种；

（或等价方法 1：甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：种）；

（或等价方法 2【补集法】：甲、乙两人参观两个不同一个场馆的参观方法有：种；

甲、乙两人参观两个相同场馆的参观方法有：种；

所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：种）；

所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的概率为：；

【归纳总结】本题主要考查考生的“数学阅读理解”，然后将古典概型问题等价转化为：两个排列、

组合题解之；有点“区分度”；

11、已知抛物线 ,若第一象限的点在抛物线上，抛物线焦点为

则直线的斜率为

【思路分析】注意理解与应用抛物线的定义以及直线斜率公式的特征；

【解析】方法一：如图，设，，再由抛物线的定义结合

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题设得，，则，

又，解得，

则直线的斜率为：；

方法二：过、分别向准线引垂线，垂足为、，

直线与轴的交点为，

由抛物线定义，得，，于，

则，又由已知，则，

结合平面几何中，“内错角相等”，所以，直线的斜率为： )

方法三：：结合本题是填充题的特点，数形结合并利用“二级结论” ，弦长公式

，

即，解得，结合题设与图像，所以）

【归纳总结】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于解析几何的基本计算，甚至都不需要

利用几何关系。定义、弦长、斜率都是解析几何的基本概念与公式；而用好抛物线的定义、数形结

合与平面几何的性质，则可减少计算量；考查了学生直观想象核心素养，通过几何意义容易求出

斜率来；

12.已知，且对任意都有或中有且

仅有一个成立，，，则的最小值为________．

【思路分析】注意阅读与等价转化题设中的递推关系；

【答案】31；

【解析】方法一：由题设，知：；

或中恰有一个成立；

…

或中恰有一个成立；

则①，，，，

则，当时，的和为最小值为：

31；

②，，，，

则，当时，的和为最小值为：

32；

因此，的最小值为：31）；

方法二：：或中恰有一个成立；等价为：或中恰有一

个成立；

或中恰有一个成立；等价为：或中恰有一个成立；

…

或中恰有一个成立；等价为：或中恰有一个成立；

又要求的和为最小，所以，希望尽量出现1 和 2，

则有数列：6，1，2，1，2，1，2，8，9 或 6，7，1，2，1，2，1，2，9；

因此，的最小值为：31；）

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标签： #高考 #数学

摘要：

2021年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知（其中为虚数单位），则．【思路分析】复数实部和虚部分别相加【解析】：【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题．2、已知则【思路分析】求出集合A，再求出【解析】：，所以【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．3、若,则圆心坐标为【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标【解析】：可以化为所以圆心为【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题．4、如图边长为3的正方形则【思路分析】利用向量投影转化到边上.【解析】方法一：...

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