专题21 空间向量的应用解答题综合（三大考点，54题）（教师卷）-十年（2016-2025）高考数学真题分类汇编

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专题 21 空间向量的应用解答题综合
（三大考点，54 题）
考点 十年考情 (2016-2025) 命题趋势
考点 1: 异面
直线夹角的向
量求法
2025 全国一卷、2021 上海卷、2020 江苏卷、2018 江苏
卷、2017 江苏卷均涉及求异面直线所成角的余弦值或大
小
通过建立空间直角坐
标系，求方向向量夹
角，注重向量运算准
确性
考点 2: 线面
角的向量求法
2025 全国二卷、2022 全国乙卷 / 甲卷 / 北京卷 / 天
津卷 / 浙江卷 / 上海卷、2021 浙江卷 / 天津卷、2020
天津卷 / 北京卷 / 海南卷 / 山东卷、2019 浙江卷 /
全国 II 卷、2018 全国 II 卷 / 浙江卷、2017 北京
卷、2016 全国 III 卷 / 四川卷 / 天津卷均涉及线面角
的求解
求直线方向向量与平
面法向量，利用线面
角与向量夹角关系计
算，关键在求法向量
考点 3: 二面
角的向量求法
2025 天津卷、2024 新课标 II 卷 / 北京卷、2023 新课
标 II 卷 / 新课标 I 卷 / 北京卷、2022 新高考全国 I
卷 / II 卷、2021 新高考全国 II 卷 / 全国甲卷 / 全
国乙卷 / 北京卷、2020 全国 I 卷、2019 全国 I 卷 /
III 卷 / 北京卷、2018 全国 III 卷 / 北京卷 / 天津
卷、2017 全国 I 卷 / II 卷 / III 卷 / 天津卷、2016
全国 I 卷 / II 卷 / 浙江卷 / 山东卷均涉及二面角的
求解
求两平面法向量，利
用法向量夹角求二面
角，需判断角的类型
（锐角 / 钝角）
考点 01：异面直线夹角的向量求法
1．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥
P − ABCD
中，
PA ⊥
平面
ABCD
，
BC ∥AD , AB ⊥AD
．
认准淘宝店：真学子资源店 非本店均为倒卖版无售后 微信：2496342225
(1)证明：平面
PAB ⊥
平面
PAD
；
(2)
，
P
，
B
，
C
，
D
在同一个球面上，设该球面的球心为
O
．
（i）证明：
O
在平面
ABCD
上；
（ⅱ）求直线
AC
与直线
PO
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；
（ii）
❑
√
2
3
.
【分析】（1）通过证明
AP⊥AB
，
AP⊥AD
，得出
AB⊥
平面
PAD
，即可证明面面垂直；
（2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设
P , B , C , D
在同一球面
O
上，在平面
xAy
中，得出点
O
坐标，进而得出点
O
在空间中的坐标，计算出
|
OP
|
=
|
OB
|
=
|
OC
|
=
|
OD
|
，即可证明结论；
法二：作出
△BCD
的边
BC
和
CD
的垂直平分线，找到三角形的外心
O1
，求出
P O1
，求出出外心
O1
到
P
，
B
，
C
，
D
的距离相等，得出外心
O1
即为
P
，
B
，
C
，
D
所在球的球心，即可证明结论；
（ii）法一：写出直线
AC
和
PO
的方向向量，即可求出余弦值.
法二：求出
AC
的长，过点
O
作
AC
的平行线，交
BC
的延长线为
C1
，连接
A C1
，
P C1
，利用勾股定理求出
A C1
的长，进而得出
P C1
的长，在
△PO C1
中由余弦定理求出
cos ∠POC1
，即可求出直线
AC
与直线
PO
所成角的余弦值.
【详解】（1）由题意证明如下，
在四棱锥
P − ABCD
中，
PA
⊥平面
ABCD
，
AB⊥AD
，
AB⊂
平面
ABCD
，
AD ⊂
平面
ABCD
，
∴
AP⊥AB
，
AP⊥AD
，
∵
AP⊂
平面
PAD
，
AD⊂
平面
PAD
，
AP∩ AD=A
，
∴
AB⊥
平面
PAD
，
∵
AB⊂
平面
PAB
，
∴平面
PAB ⊥
平面
PAD
.
（2）（i）由题意及（1）证明如下，
法一：
在四棱锥
P − ABCD
中，
AP⊥AB
，
AP⊥AD
，
AB⊥AD
，
BC
∥
AD
，
PA=AB=❑
√
2
，
AD=1+❑
√
3
，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴
A
(
0,0,0
)
, B
(
❑
√
2,0,0
)
, C
(
❑
√
2,2,0
)
, D
(
0,1+❑
√
3,0
)
, P
(
0,0 ,❑
√
2
)
，
若
P
，
B
，
C
，
D
在同一个球面上，
则
|
OP
|
=
|
OB
|
=
|
OC
|
=
|
OD
|
，
在平面
xAy
中，
∴
A
(
0,0
)
, B
(
❑
√
2,0
)
,C
(
❑
√
2,2
)
, D
(
0,1+❑
√
3
)
，
∴线段
CD
中点坐标
F
(
❑
√
2
2,
❑
√
3+3
2
)
，
直线
CD
的斜率：
k1=1+❑
√
3−2
0−❑
√
2=−
❑
√
3−1
❑
√
2
，
直线
CD
的垂直平分线
EF
斜率：
k2=❑
√
2
❑
√
3−1=❑
√
6+❑
√
2
2
，
∴直线
EF
的方程：
y −
❑
√
3+3
2=❑
√
6+❑
√
2
2
(
x−
❑
√
2
2
)
，
即
y=❑
√
6+❑
√
2
2
(
x −
❑
√
2
2
)
+❑
√
3+3
2
，

标签： #高考 #数学 #空间向量

摘要：

专题21空间向量的应用解答题综合（三大考点，54题）考点十年考情(2016-2025)命题趋势考点1:异面直线夹角的向量求法2025全国一卷、2021上海卷、2020江苏卷、2018江苏卷、2017江苏卷均涉及求异面直线所成角的余弦值或大小通过建立空间直角坐标系，求方向向量夹角，注重向量运算准确性考点2:线面角的向量求法2025全国二卷、2022全国乙卷/甲卷/北京卷/天津卷/浙江卷/上海卷、2021浙江卷/天津卷、2020天津卷/北京卷/海南卷/山东卷、2019浙江卷/全国II卷、2018全国II卷/浙江卷、2017北京卷、2016全国III卷/四川卷/天津卷均涉及线面角的求解求直线方向向量...

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