专题24 函数的应用（两大考点，32题）（教师卷）-十年（2016-2025）高考数学真题分类汇编
专题 24 函数的应用（两大考点，32 题）
考点 十年考情（2016-2025） 命题趋势
考点 1：函数与
方程
2025 年天津卷：函数零点所在区间；2024 年新课标 Ⅰ
卷：曲线交点个数；2024 年新课标 Ⅱ 卷：曲线交点求
参数；2024 年新课标 Ⅱ 卷：函数性质判断（零点
等）；2024 年新课标 Ⅱ 卷：三角函数性质（零点
等）；2024 年天津卷：函数恰有一个零点求参数范
围；2024 年全国甲卷：曲线交点求参数范围；2023 年
新课标 Ⅱ 卷：函数极值相关零点条件；2023 年新课标
Ⅰ 卷：函数零点求参数范围；2023 年天津卷：函数恰
有两个零点求参数范围；2022 年北京卷：函数零点求
参数及函数值；2022 年天津卷：函数零点求参数范
围；2021 年天津卷：分段函数零点求参数范围；2021
年北京卷：函数零点结论判断；2020 年全国 Ⅰ 卷：函
数式比较大小；2020 年天津卷：函数零点求参数范
围；2019 年全国 Ⅲ 卷：函数零点个数；2019 年浙江
卷：函数零点求参数范围；2019 年江苏卷：函数交点
求参数范围；2018 年天津卷：函数零点求参数范围；
2010 年天津卷：函数零点所在区间
1. 函数零点问题常与
函数单调性、零点存
在性定理结合，涉及
零点所在区间、零点
个数判断。2. 曲线交
点问题多转化为函数
零点问题，常结合函
数图象、奇偶性等性
质，求参数范围是重
点。3. 分段函数零点
问题需分段讨论，结
合不同区间函数特点
分析。
考点 2：函数模
型及其应用
2025 年北京卷：对数函数模型应用；2024 年上海卷：
对数函数模型解不等式及求参数范围；2023 年上海
卷：函数模型与零点结合求参数范围；2023 年新课标
Ⅰ 卷：对数函数模型应用（声压级）；2020 年山东
卷：指数函数模型应用（疫情）；2020 年全国 Ⅱ 卷：
函数模型应用（订单配货）；2019 年全国 Ⅱ 卷：函数
模型应用（天体运动）；2019 年北京卷：函数模型应
用（水果销售）；2019 年江苏卷：函数模型应用（道
路规划）；2018 年浙江卷：方程模型应用（百鸡问
题）
1. 函数模型多涉及指
数函数、对数函数、
二次函数等，常与实
际问题结合，如疫
情、销售、工程等场
景。2. 应用问题重点
在于建立函数关系，
利用函数性质求解实
际问题中的量，如时
间、参数范围等。
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考点 01：函数与方程
一、单选题
1．（2025·天津·高考真题）函数
f(x)=0.3x−❑
√
x
的零点所在区间是（）
A．
(0,0.3)
B．
(0.3,0 .5)
C．
(0.5,1)
D．
(1,2)
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：
y=0.3x
在
R
上单调递减，
y=❑
√
x
在
[
0,+∞
)
单调递增，
所以
f
(
x
)
=0.3x−❑
√
x
在定义域上单调递减，
显然
f
(
0
)
=1>0, f
(
0.3
)
=0.30.3 −0.30.5>0, f
(
0.5
)
=0.30.5 −0.50.5 <0
，
所以根据零点存在性定理可知
f
(
x
)
的零点位于
(
0.3,0 .5
)
.
故选：B
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当
x∈[0,2 π]
时，曲线
y=sin x
与
y=2sin
(
3x − π
6
)
的交点个数为
（）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在
[
0,2 π
]
上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数
y=sin x
的最小正周期为
T=2 π
，
函数
y=2sin
(
3x − π
6
)
的最小正周期为
T=2 π
3
，
所以在
x∈
[
0,2 π
]
上函数
y=2sin
(
3x − π
6
)
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有 6个交点.
故选：C
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
f(x)=a(x+1)2−1
，
g(x)=cos x+2ax
，当
x∈(−1,1)
时，曲
线
y=f(x)
与
y=g(x)
恰有一个交点，则
a=¿
（）
A．
−1
B．
1
2
C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令
F
(
x
)
=a x2+a −1, G
(
x
)
=cos x
，分析可知曲线
y=F(x)
与
y=G(x)
恰有一个交点，
结合偶函数的对称性可知该交点只能在 y轴上，即可得
a=2
，并代入检验即可；解法二：令
ℎ
(
x
)
=f(x)− g
(
x
)
, x ∈
(
−1,1
)
，可知
ℎ
(
x
)
为偶函数，根据偶函数的对称性可知
ℎ
(
x
)
的零点只能为 0，即可
得
a=2
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
f(x)=g
(
x
)
，即
a(x+1)2−1=cos x+2ax
，可得
a x2+a −1=cos x
，
令
F
(
x
)
=a x2+a −1, G
(
x
)
=cos x
，
原题意等价于当
x∈(−1,1)
时，曲线
y=F(x)
与
y=G(x)
恰有一个交点，
注意到
F
(
x
)
,G
(
x
)
均为偶函数，可知该交点只能在 y轴上，
可得
F
(
0
)
=G
(
0
)
，即
a −1=1
，解得
a=2
，
若
a=2
，令
F
(
x
)
=G
(
x
)
，可得
2x2+1−cos x=0
因为
x∈
(
−1,1
)
，则
2x2≥0,1−cos x≥ 0
，当且仅当
x=0
时，等号成立，
可得
2x2+1−cos x ≥ 0
，当且仅当
x=0
时，等号成立，
则方程
2x2+1−cos x=0
有且仅有一个实根 0，即曲线
y=F(x)
与
y=G(x)
恰有一个交点，
所以
a=2
符合题意；
综上所述：
a=2
.
解法二：令
ℎ
(
x
)
=f(x)− g
(
x
)
=a x2+a − 1−cos x , x ∈
(
−1,1
)
，
摘要：
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专题24函数的应用（两大考点，32题）考点十年考情（2016-2025）命题趋势考点1：函数与方程2025年天津卷：函数零点所在区间；2024年新课标Ⅰ卷：曲线交点个数；2024年新课标Ⅱ卷：曲线交点求参数；2024年新课标Ⅱ卷：函数性质判断（零点等）；2024年新课标Ⅱ卷：三角函数性质（零点等）；2024年天津卷：函数恰有一个零点求参数范围；2024年全国甲卷：曲线交点求参数范围；2023年新课标Ⅱ卷：函数极值相关零点条件；2023年新课标Ⅰ卷：函数零点求参数范围；2023年天津卷：函数恰有两个零点求参数范围；2022年北京卷：函数零点求参数及函数值；2022年天津卷：函数零点求参数范围；2...
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2026-01-17 6
作者：大海无量
分类：高中
价格：免费
属性：34 页
大小：509.37KB
格式：DOCX
时间：2026-01-17
